?

Log in

No account? Create an account
 
 
12 April 2017 @ 11:17 am
Задача  
На плоскости есть заяц, волк и заячья нора.
Заяц бегает со скоростью U, волк со скоростью V.
Волк глупый, бежит всегда строго к зайцу.
Заяц умный.
По какой линии должен бежать заяц, чтобы спастись от волка в норе?
Есть ли ситуации, когда по прямой заяц не спасется, а по кривой спасется?
 
 
 
кстатиkcmamu on April 12th, 2017 09:25 am (UTC)
Если волк между зайцем и норой...
saint Zozo, или Юраstzozo on April 12th, 2017 09:44 am (UTC)
И если скорость волка ненамного превышает скорость зайца.
jora0jora0 on April 12th, 2017 07:08 pm (UTC)
Время, $T$ которое может бежать заяц до того, как его схватит волк, определяется из уравнения
$$
L_0=\int_0^T \frac{dt}{V-v cos \theta(t)},
$$
где $v$ и $V$ скорости зайца и волка, $\theta(t)$ --- угол между мгновенной скоростью зайца и направлением от волка.

Дальше нужно понять, существует ли путь, приводящий зайца к норе быстрее, чем за время T, при заданном положении зайца и волка. Красивого решения пока не вижу.
saint Zozo, или Юраstzozo on April 13th, 2017 04:20 am (UTC)
Угол между скоростью волка и зайца тоже может меняться.

Я довел эту задачу до дифференциального уравнения на одну функцию.

Edited at 2017-04-13 08:48 am (UTC)
jora0jora0 on April 13th, 2017 08:57 am (UTC)
Круто, надо будет подумать, как.
Пока мне приходит в голову только составить функционал конечного расстояния между зайцем и волком (в момент, когда заяц уходит в нору), и как-то его поварьировать. Если есть положительные решения, то заяц от волка может убежать. Но тут надо ещё положение волка задавать, которое тоже есть функционал от пути зайца.
saint Zozo, или Юраstzozo on April 15th, 2017 08:52 am (UTC)
Ответ для тех, у кого есть фейсбук:
https://www.facebook.com/yura.zozo/posts/10211741303082267
Warlenwarlen on April 16th, 2017 05:29 pm (UTC)
> Есть ли ситуации, когда по прямой заяц не спасется, а по кривой спасется?

Есть. Если волк находится на прямой между зайцем и норой, то заяц, бегущий по прямой, попадется ему, как бы мала ни была его скорость. Но если не ограничивать зайца прямой, то в крайнем случае он может бежать по большой окружности, сначала - в сторону почти противоположную норе. И если даже волк бежит быстрее зайца, но разность скоростей достаточно мала, то заяц пробежит эту окружность раньше.